Se numeste sistem de ecuatii liniare un sistem de forma:
(1)Coeficientii necunoscutelor formeaza o matrice cu m linii si n coloane:
(2)numita matricea coeficientilor sistemului sau, mai simplu, matricea sistemului.
Matricea cu m linii si n+1 coloane
care se obtine adaugand la coloanele matricei A coloana termenilor liberi se numeste matricea extinsa a sistemului.
Un sistem de numere
se numeste solutie a sistemului (1), daca inlocuind necunoscutele x1, x2, ….,xn respectiv prin aceste numere, toate ecuatiile sistemului sunt verificate, adica
(5)Un sistem de ecuatii liniare care are cel putin o solutie se numeste compatibil. Un sistem compatibil se numeste determinat daca are o singura solutie, si se numeste nedeterminat daca are mai mult de o solutie.
A rezolva un sistem liniar inseamna a decide daca acesta este compatibil sau incompatibil, iar in cazul compatibilitatii, a-i gasi solutia (solutiile).
Un sistem liniar se numeste omogen daca toti termenii liberi din ecuatiile sistemului sunt nuli.
Un sistem liniar omogen are intotdeauna (cel putin) solutia banala:
(6)
Istoria matematiciiRezolvarea sistemelor de ecuatii liniare a stat la baza introducerii notiunii de determinant. Laplace numea determinantul "rezultant", denumire care a fost pastrata si de Cauchy in Exercises d'analyse et de physique mathématique, vol ii p. 161 (1841).In cursul sau de analiza algebrica insa Cauchy ii denumea functii alternate. |
Germenii teoriei determinantilor se gasesc in scrierile lui Leibnitz (Gottfried Leibnitz (1646-1716)). A fost nevoie sa treaca o jumatate de secol pentru ca matematicienii sa inceapa sa se intereseze de aceste notiuni, iar primele rezultate importante au aparut doar un secol mai tarziu. |
Gottfried Wilhelm Leibniz (Leibnitz sau von Leibniz) |
Reinvierea metodei se datoreaza lui Cramer, cel care a dat regula de calcul a determinantilor, intr-o nota la Analyse des lignes courbes algébrique (publicata la Geneva in 1750). Cramer a fost urmat de Bezout, Laplace, Lagrange si Vandermonde. In 1801 a aparut Disquisitiones Arithmeticae a lui Gauss, iar in 1807 acesta lucrare a fost tradusa si in franceza de catre M. Poullet-Delisle. Originalitatea acestei lucrari a deschis noi drumuri in studiul determinantilor. Printre altele, lui Gauss i se datoreaza si teorema referitoare la determinantul produsul a doua matrice care este egal cu produsul determinatilor celor doua matrice. Printre cei mai celebri urmasi ai lui Jacobi se numara matematicienii englezi Sylvester si Cayley. |