Sisteme de ecuatii liniare

Se numeste sistem de ecuatii liniare un sistem de forma:

(1)
\begin{align} \begin{Bmatrix}\ a_1_1x_1+a_1_2x_2+...+a_1_nx_n=b_1\\ a_2_1x_1+a_2_2x_2+...+a_2_nx_n=b_2\\ \dots\\ a_m_1x_1+a_m_2x_2+...+a_m_nx_n=b_m\\ \end{matrix} \end{align}

Coeficientii necunoscutelor formeaza o matrice cu m linii si n coloane:

(2)
\begin{align} A= \begin{pmatrix}\ a_1_1 & a_1_2 & \dots & a_1_n\\ a_2_1 & a_2_2 & \dots & a_2_n\\ \dots\\ a_m_1 & a_m_2 & \dots & a_m_n\\ \end{pmatrix} \end{align}

numita matricea coeficientilor sistemului sau, mai simplu, matricea sistemului.
Matricea cu m linii si n+1 coloane

(3)
\begin{align} \bar A= \begin{pmatrix}\ a_1_1 & a_1_2 & \dots & a_1_n &b_{1n}\\ a_2_1 & a_2_2 & \dots & a_2_n & b_{2n}\\ \dots\\ a_m_1 & a_m_2 & \dots & a_m_n &b_{mn}\\ \end{pmatrix} \end{align}

care se obtine adaugand la coloanele matricei A coloana termenilor liberi se numeste matricea extinsa a sistemului.
Un sistem de numere

(4)
\begin{align} \alpha_1, & \alpha_2, \dots, \alpha_n \end{align}

se numeste solutie a sistemului (1), daca inlocuind necunoscutele x1, x2, ….,xn respectiv prin aceste numere, toate ecuatiile sistemului sunt verificate, adica

(5)
\begin{align} \sum_{j=1}^na_i_j\alpha_j=b_i, \qquad 1\le i \le m \end{align}

Un sistem de ecuatii liniare care are cel putin o solutie se numeste compatibil. Un sistem compatibil se numeste determinat daca are o singura solutie, si se numeste nedeterminat daca are mai mult de o solutie.

A rezolva un sistem liniar inseamna a decide daca acesta este compatibil sau incompatibil, iar in cazul compatibilitatii, a-i gasi solutia (solutiile).
Un sistem liniar se numeste omogen daca toti termenii liberi din ecuatiile sistemului sunt nuli.

Un sistem liniar omogen are intotdeauna (cel putin) solutia banala:

(6)
\begin{align} \alpha_1= & \alpha_2= \dots= \alpha_n =0 \end{align}

Istoria matematicii

Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare a stat la baza introducerii notiunii de determinant. Laplace numea determinantul "rezultant", denumire care a fost pastrata si de Cauchy in Exercises d'analyse et de physique mathématique, vol ii p. 161 (1841).In cursul sau de analiza algebrica insa Cauchy ii denumea functii alternate.
Gauss a fost cel care a introdus denumirea de detrminant.

Germenii teoriei determinantilor se gasesc in scrierile lui Leibnitz (Gottfried Leibnitz (1646-1716)). A fost nevoie sa treaca o jumatate de secol pentru ca matematicienii sa inceapa sa se intereseze de aceste notiuni, iar primele rezultate importante au aparut doar un secol mai tarziu.
180px-Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg

Gottfried Wilhelm Leibniz (Leibnitz sau von Leibniz)
( 1 iulie 1646 – 14 noiembrie 1716)

Reinvierea metodei se datoreaza lui Cramer, cel care a dat regula de calcul a determinantilor, intr-o nota la Analyse des lignes courbes algébrique (publicata la Geneva in 1750). Cramer a fost urmat de Bezout, Laplace, Lagrange si Vandermonde.

In 1801 a aparut Disquisitiones Arithmeticae a lui Gauss, iar in 1807 acesta lucrare a fost tradusa si in franceza de catre M. Poullet-Delisle. Originalitatea acestei lucrari a deschis noi drumuri in studiul determinantilor. Printre altele, lui Gauss i se datoreaza si teorema referitoare la determinantul produsul a doua matrice care este egal cu produsul determinatilor celor doua matrice.
Binet, Cauchy si alti matematicieni au dezvoltat teoria lui Gauss si au gasit aplicatii ale acesteia in geometrie.
In 1826 Jacobi a inceput sa publice o serie de articole de popularizare a acestui subiect, serie care a continuat timp de aproape 20 de ani. In acest timp Jacobi a expus teoreme noi si importante, numele sau fiind indisolubil legat de dezvoltareaa acestei ramuri a algebrei.

Printre cei mai celebri urmasi ai lui Jacobi se numara matematicienii englezi Sylvester si Cayley.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License