Hamilton

Definiţie: Fie A o matrice pătratică de ordinul n cu coeficienţi complecşi.
Atunci matricea A-xIn se numeşte matricea caracteristică a matricei A.

(1)
\begin{align} A-xI_n= \begin{pmatrix}\ a_{11}-x & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-x & \dots & a_{2n}\\ \dots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}-x\\ \end{pmatrix} \end{align}

Propoziţie: Polinomul det(A-xIn) este de gradul n.
Produsul elementelor de pe diagonala principală conţine termenul (-1)n xn, oricare alt produs va conţine cel mult n-2 elemente de pe diagonala principală, deci va conţine xn-2. Coeficientul lui xn-1 este (-1)n-1(a11+a22+…+ann), iar termenul liber al polinomului coincide cu det(A).
Definiţie: Polinomul pA(x)=(-1)n det(A-xIn) se numeşte polinomul caracteristic al matricii A, iar rădăcinile sale se numesc valori proprii ale acestei matrice.

Teorema lui Hamilton-Cayley: Orice matrice pătratică îşi satisface propria ecuaţie caracteristică: pA(A)=0n.
Pentru o matrice pătratică de ordinul doi avem:

(2)
\begin{align} A= \begin{pmatrix}\ a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix} \Rightarrow p_A(x)=x^2-tr(A)x+det(A), \quad \textrm{unde} \quad tr(A)=a_{11}+a_{22} \end{align}

Pentru o matrice pătratică de ordinul trei avem:

(3)
\begin{align} A= \begin{pmatrix}\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \Rightarrow p_A(x)=x^3-tr(A)x^2+s(A)x-det(A), \quad \textrm{unde} \quad tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}\\ \quad \textrm{iar} \quad s(A)=\begin {vmatrix}\ a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\ a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix}+ \begin {vmatrix}\ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix} \end{align}

Metoda Fadeev de determinare a coeficienţilor polinomului caracteristic:

(4)
\begin{align} p_A(x)=x^n+c_1x^{n-1}+c_2x^{n-2}+\cdots+c_n, \end{align}

unde coficienţii ci se determină astfel:

(5)
\begin{align} A_1=A, \qquad c_1=-tr(A_1), \qquad B_1=A_1+c_1I_n\\ A_2=AB_1, \qquad c_2=-\frac{1}{2}tr(A_2), \qquad B_2=A_2+c_2I_n\\ A_3=AB_2, \qquad c_3=-\frac{1}{3}tr(A_3), \qquad B_3=A_3+c_3I_n\\ \dots \qquad \dots \qquad \dots\\ A_k=AB_{k-1}, \qquad c_k=-\frac{1}{k}tr(A_k), \qquad B_k=A_k+c_kI_n\\ \dots \qquad \dots \qquad \dots\\ A_n=AB_{n-1}, \qquad c_n=-\frac{1}{n}tr(A_n), \qquad B_n=A_n+c_nI_n=0_n\\ \end{align}

ultima relaţie fiind una de control.

Observaţie: Dacă A este nesingulară, atunci teorema lui Hamilton-Cayley ne oferă o altă modalitate de a determina A-1 .

(6)
\begin{align} p_A(A)=A^n+c_1A^{n-1}+c_2A^{n-2}+\cdots+c_nI_n=0_n \Rightarrow A^{-1}=-\frac{1}{c_n}(A^{n-1}+c_1A^{n-2}+\cdots+c_{n-1}I_n). \end{align}

Exemple
1. Fie matricea

(7)
\begin{align} A= \begin{pmatrix}\ 1&1 & 0\\ 0&0 & 1\\ 0&1&0\\ \end{pmatrix} \end{align}

a)Sa se verifice relatia: A3-A=A2-I3.
b)Aflati A-1.
c)Aratati ca An-An-2=A2-I3 , $\forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geq3$.
(Bacalaureat 2009)

Indicatii de rezolvare
a) Se verifica prin calcul direct sau folosind teorema Hamilton Cayley.
b) Folosind relatia de la punctul a) avem A2+A-A3=I3 , de unde rezulta A(A+I3-A2)=I3.
c) Se demonstreaza prin inductie.

2. Fie matricea

(8)
\begin{align} A= \begin{pmatrix}\ a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \end{align}

cu proprietatea ca A2=2A.
a) Sa se arate ca matricea

(9)
\begin{align} A= \begin{pmatrix}\ 3 & 1\\ -3 & -1\\ \end{pmatrix} \end{align}

verifica relatia B2=2B.
b) Sa se arate ca, daca a+d$\neq2$, atunci A=02 sau A=2I2
c) Sa se arate ca, daca a+d=2, atunci det(A)=0.
(Bacalaureat 2009)

Indicatii de rezolvare
a) Se verifica prin calcul direct.
b) Putem evita calculele folosind teorema Hamilton-Cayley. Folosind relatia din ipoteza obtinem:
2A=(a+d)A-(ad-bc)I2, de unde rezulta A=kI2 si inlocuind in conditie obtinem k=0 sau k=2.
c) Presupunem prin reducere la absurd ca avem det(A)$\neq0$. Atunci matricea A este inversabila si inmultind relatia A2=2A cu A-1 obtinem A=2I2, contradictie.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License