Grupa 5

METODA LUI GAUSS.

Metoda lui Gauss,numita si metoda eliminarii partiale,foloseste transformarile elementare pentru a inlocui un sistem de forma (S) printr-un sistem triunghiular.

Definitie: Vom spune ca doua matrice A si B sunt echivalente daca asuptra lui A am efectuat operatii elementare cu linii,obtinand matricea B.

Proprietate: Daca matricele extinse a doua sisteme liniare sunt echivalente,atunci sistemele ori sunt amandoua incompatibile,ori au aceeasi solutie.

Exercitii:
1.

(1)
\begin{align} \begin{Bmatrix} 3x_1+2x_2+x_3=5\\ 2x_1+3x_2+x_3=1\\ 2x_1+x_2+3x_3=11\\ \end{matrix} \end{align}
(2)
\begin{align} \begin{Bmatrix} 2x_1+3x_2-2x_3=-3\\ \frac{1}{2}x_2+4x+3=\frac{11}{2}\\ 52x_3=67\\ \end{matrix} \end{align}

Se observa ca ultima egalitate nu este adevarata deci sistemul este incompatibil.
2.

(3)
\begin{align} \begin{Bmatrix} -x_3+x_4=2\\ x_1-2x_2+4x_3+3x_4=4\\ 3x_1-5x_2+8x_3+5x_4=0\\ \end{matrix} \end{align}

Putem scrie sistemul:

(4)
\begin{align} \begin{Bmatrix} x_1-2x_2+4x_3+3x_4=4\\ 3x_1-5x_2+8x_3+5x_4=0\\ -x_3+4x_4=2\\ \end{matrix} \end{align}

De unde:

(5)
\begin{align} \begin{Bmatrix} x_1-2x_2+4x-3=3x-4=4\\ x_2-4x_3-4x_4=-12\\ -x_3+4x_4=2\\ \end{matrix} \end{align}

Se observa ca nu mai putem obtine in ultima ecuatie doar o singura necunoscuta.In acest caz,din ultima ecuatie x3=4x4-2 si daca notam x4=alfa,obtinem x3=4 alfa-2; x2=20(alfa-1); x1=7(3 alfa-4)oricare ar fi numarul alfa,deci sistemul este compatibil nedeterminat.

3.

(6)
\begin{align} \begin{Bmatrix} x_1+x_2+x_3=6\\ 2x_1+x_2+x_3=1\\ 4x_1-x_2+2x_3=8\\ -x_1+x_2+2x_3=7\\ \end{matrix} \end{align}

Dupa eliminarile succesive obtinem:

(7)
\begin{align} \begin{Bmatrix} x_1+x_2+x_3=6\\ -x_2-3x_3=-11\\ 13 x_3=39\\ 0=0\\ \end{matrix}\\ \qquad de\qquad unde \qquad x_3=3, x_2=2 si x_1=1 4. \begin{Bmatrix} x_1+x_2+x_3=6\\ 2x_1+x_2-x_3=0\\ 4x_1-x_2+2x_3=8\\ -x_1+x_2+2x_3=7\\ \end{matrix} \end{align}

Putem obtine:

(8)
\begin{align} \begin{Bmatrix} x_1+x_2+x_3=6\\ -x_2-3x_3=-12\\ 13x_3=39\\ 0=\frac{-11}{3}\\ \end{matrix} \end{align}

By :XCossy:X

Metoda Gauss

Realizatori:
Murgoci
Buhulete
Ionica
Oprea
Pana

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License