Grupa 4

Metoda Cramer

Aproximativ 20% de teste la metode de calcul se referă la rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare şi matrici. Tema respectivă se studiază în detalii în cursul matematicii în clasele a XI-a – a XII-a de liceu. Din aceste considerente vom aminti numai noţiunile de bază.

Se consideră un sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute x1, x2, …, xn, care poate fi scris astfel:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3
… … … … … … … … … . .
an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn

Un sistem liniar de n ecuatii cu n necunoscute,cu matricea coeficintilor sistemului nesingular,se numeste sistem Cramer.Folosind metoda matricei inverse am vazut ca un astfel de sistem este compatibil determinant.Solutia sa unica se poate afla cu ajutorul formulelor lui Cramer.
Daca notam cu A matricea patratica de ordinul n: (formata din coeficientii necunoscutelor sistemului)

(1)
\begin{align} A= \begin{pmatrix}\ a_1_1 & a_1_2 & \dots & a_1_n\\ a_2_1 & a_2_2 & \dots & a_2_n\\ a_n_1 & a_n_2 & \dots & a_n_n\\ \end{pmatrix} \end{align}

si daca aceasta matrice este nesingulara, atunci solutia acestuia se obtine folosind formulele:

(2)
\begin{align} x_1 = \frac{d_x{1}}{d}, x_2= \frac{d_x{2}}{d} \dots x_n = \frac{d_x{n}}{d}. \end{align}

in care d=detA este determinantul matricei sistemului,iar determinantul care se obtine din d, inlocuind coloana i cu coloana termenilor liberi B il notam cu:

(3)
\begin{equation} d_x_i \end{equation}

Fie, determinantul matricei sistemului este nenul.
Vom nota:

(4)
\begin{align} A= \begin{pmatrix}\ a_1_1 & a_1_2 & \dots & a_1_n\\ a_2_1 & a_2_2 & \dots & a_2_n\\ a_n_1 & a_n_2 & \dots & a_n_n\\ \end{pmatrix} \end{align}
(5)
\begin{align} X= \begin{pmatrix}\ x_1\\ x_2\\ \dots\\ x_n\\ \end{pmatrix} \end{align}
(6)
\begin{align} B= \begin{pmatrix}\ b_1\\ b_2\\ \dots\\ b_n\\ \end{pmatrix} \end{align}

Sistemul (1) se poate rescrie sub forma unei ecuaţii matriciale:
AX=B
Fie d=det A determinantul sistemului şi dj, 1< j<n determinantul matricei aj care se obţine din A prin înlocuirea coloanei j prin coloana B.

EXEMPLE:

(7)
\begin{align} d_1= \begin{vmatrix} b_1 & a_1_2 & \dots & a_1_n\\ b_2 & a_2_2 & \dots & a_2_n\\ \dots\\ b_n & a_n_2 & \dots & a_n_n\\ \end{vmatrix} \end{align}
(8)
\begin{align} d_2= \begin{vmatrix} a_1_1 & b_1 & \dots & a_1_n\\ a_2_1 & b_2 & \dots & a_2_n\\ \dots\\ a_n_1 & b_n & \dots & a_n_n\\ \end{vmatrix} s.a.m.d \end{align}

Exemple:

Pentru sistemul:

(9)
\begin{align} \begin{Bmatrix}\ 2x_1+x_2+3x_3=6\\ x_1+2x_2+x_3=4\\ x_1+3x_2+x_3=5\\ \end{matrix} \end{align}
(10)
\begin{align} detA= \begin{vmatrix}\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 1\\ \end{vmatrix} =4+9+1-6-6-1=1\neq0, \qad iar : \end{align}
(11)
\begin{align} d_x_1= \begin{vmatrix}\ 6 & 1 & 3\\ 4 & 2 & 1\\ 5 & 3 & 1\\ \end{vmatrix} =12+36+5-30-18-4=53-52=1 \end{align}
(12)
\begin{align} x_1 = \frac{d_{x1}}{d} = \frac{1}{1} =1 \end{align}
(13)
\begin{align} d_x_2= \begin{vmatrix}\ 2 & 6 & 3\\ 1 & 4 & 1\\ 1 & 5 & 1\\ \end{vmatrix} =8+15+6-12-10-6=29-28=1 \end{align}
(14)
\begin{align} x_2 = \frac{d_{x2}}{d} = \frac{1}{1} =1 \end{align}
(15)
\begin{align} d_x_3= \begin{vmatrix}\ 2 & 1 & 6\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 2\\ \end{vmatrix} =20+18+4-12-24-5=42-41=1 \end{align}
(16)
\begin{align} x_3 = \frac{d_{x3}}{d} = \frac{1}{1} =1 \end{align}
(17)
\begin{align} S= \begin{Bmatrix}\ 1,1,1\\ \end{Bmatrix} \end{align}

Realizatori:
Simion
Pauna
Dimoiu
Tanasie
Bardan

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License