Grupa 3

1) sistemul:

(1)
\begin{cases} \ 2x-5y+4z=0\\ -3x+y+z=1\\ 2x-z=a\\ \end{cases}

este un sistem liniar de 4 ecuatii cu 3 necunoscute x,y si z.Matricea A a sistemului,matricea B a termenilor liberi si matricea extinsa (AB) sunt:

(2)
\begin{align} A= \begin{pmatrix} 2&-5&4\\ -3&1&1\\ 2&-1&0\\ \end{pmatrix} ; \end{align}

Matricea necunoscutelor, cu A=(aij) matricea coeficientilor si cu B=(bij) matricea termenilor liberi,sistemul (S) se mai scrie sub forma ecuatiei matriciale "AX=B" numita forma matriciala a sistemului liniar (S)

Daca X este o solutie a ecuatiei matriceale AX=B , adica AX0=B , atunci sistemul este compatibil( determinat, daca X este unica si nedeterminata in caz contrar), iar daca nu exista X0 cu AX0=B, atunci sistemul este incompatibil.

Un sistem liniar omogen AX=Om1 este compatibil, avand intotdeauna solutia X0=Om1.Pentru sistemele liniare omogene nu se pune problema compatibilitatii, ci problema existentei solutiilor nebanale.

Un sistem liniar de "n" ecuatii cu "n" necunoscute, avand matricea A a coeficientilor nesingulara,se poate rezolva matriceal folosind metoda matricei inverse:

  • se scrie sistemul sub forma matriceala AX=B
  • se construieste A-1 ;inmultind ecuatia AX=B,la stanga cu A-1 ,obtinem solutia sistemului X=A-1B

Fie A$\in M_{mn}(\mathbf{C})$ si numerele b1,b2…bm
K date.Sistemul de ecuatii de forma:

(3)
\begin{cases} \ a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\\ \end{cases}

se numeste sistem de m ecuatii liniare cu necunoscute x1,x2….xn sau sistem liniar

(4)
\begin{align} A= \begin{pmatrix}\ a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \dots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\\ \end{pmatrix} \end{align}

Se numeste matricea coeficientilor sistemului sau, mai simplu, matricea sistemului.

Exemple si contra exemple:
1) sistemul:

(5)
\begin{cases} \ 2x+5y-4z=2\\ 15x-9y+z=15\\ 21x-12y+z=21\\ 8x-13y+6z=8\\ \end{cases}

este un sistem liniar de 4 ecuatii cu 3 necunoscute x,y si z.Matricea A a sistemului,matricea B a termenilor liberi si matricea extinsa (AB) sunt:

(6)
\begin{align} A= \begin{pmatrix} 2&5&-4\\ 15&-9&1\\ 21&-12&1\\ 8&-13&6\\ \end{pmatrix} ; B= \begin{pmatrix} 2\\ 15\\ 21\\ 8\\ \end{pmatrix}; (A/B)= \begin{pmatrix} 2&5&-4&2\\ 15&-9&1&15\\ 21&-12&1&21\\ 8&-13&6&8\\ \end{pmatrix} \end{align}

2)Sistemul:

(7)
\begin{cases} x_1+x_2=7\\ x_1x_2+x_2^2=13\\ \end{cases}

nu este sistem liniar.
Un sistem ordonat de numere

(8)
\begin{pmatrix} x_1^0,....x_n^0 \end{pmatrix}

din k se numeste solutie a sistemului (S) cu n necunoscute daca inlocuind in sistem (S) pe xj; toate cele m ecuatii sunt verificate.
Exemple gasiti aici
realizatori:
Bleiceanu
Nastasoiu
Sturzu
Laba
Vacaru

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License