Ecuatii matriceale

DEFINITIE:O ecuatie in care necunoscuta este o matrice se numeste ecuatie matriceala.Formele cele mai simple de ecuatii matriceala.Formele cele mai simple de ecuatii matriceale sunt:
a)AX=B b)XA=B c)AXC=B, unde A,B si C sunt matrice cunoscute,iar X este matricea necunoscuta.

In cazul in care $A,C \in M_n(\mathbf{C})$ sunt matrice inversabile, ecuatiile admit respective solutiile unice:
a’) X=A -1B b’) X=B A-1 c’) X=A -1B C-1, care se obtin inmultind ecuatia de la a) la stanga cu A-1 etc., metoda ce poarta numele de metoda matricei inverse.

Calculul ecuatiilor matriciale

Fie A, B$\in M_n(\mathbf{C})$

(1)
\begin{align} A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_1_2&a_{13}&......&a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&......&a_{2m}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&......&a_{3m} \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}&......&b_{1m}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23}&......&b_{2m}\\ b_{31}&b_{32}&b_{33}&......&b_{3m} \end{pmatrix} \end{align}


astfel încât A så fie ne singularå ( deci så existeA-1). Så consideråm ecuatiile matriceale :
AX=B, YA=B
înmultind prima ecuatie la stânga cu A-1 si pe a doua la dreapta cu A-1, se obtine:
A-1(AX)= A-1B, (YA) A-1= BA-1
folosind asociativitatea matricilor se obtine:
(A-1A)X= A-1B, Y(A A-1)= BA-1
dar (A-1A)=Im si folosind proprietatea matricii identice,se va obtine:
X= A-1B, Y= BA-1
iar prin calculul A-1B si B A-1 se va obtine X, Y. De obicei X,Y sunt diferite deoarece înmultirea matricilor nu este comutativå:

Så se rezolve urmåtoarele ecuatii matriciale:

(2)
\begin{align} \begin{pmatrix} 2&1\\ 2&3 \end{pmatrix} X= \begin{pmatrix} 5&6\\ 6&8 \end{pmatrix} A= \begin{pmatrix} 2&1\\ 2&3 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 5&6\\ 6&8 \end{pmatrix} A^{-1}•/A•X=B \Rightarrow A^^-1^^•(A•X)= A^^-1^^B \Rightarrow (A^^-1^^•A)•X= A^^-1^^B \Rightarrow I2•X= A-1B \Rightarrow X= A^^-1^^B detA = 2•3 – 2 = 4 A^^-1^^=(1/ detA)•A* \end{align}

Fie A, BÎMm× m ( C), A = a11 a12 a 13 ………a1m , B= b11 b 12 b13 ……b1m
a21 a22 a 23 ………a2m b21 b 22 b23 ……b2m
a31 a32 a 33 ………a3m b31 b 32 b33 ……b3m
……………………… ……………………
am1 am2 a m3 ……..amm bm1b m2 bm3 …..bmm

astfel încât A så fie ne singularå ( deci så existeA-1). Så consideråm ecua-tiile matriceale :
AX=B, YA=B
înmultind prima ecuatie la stânga cu A-1 si pe a doua la dreapta cu A-1, se obtine:
A-1(AX)= A-1B, (YA) A-1= BA-1
folosind asociativitatea matricilor se obtine:
(A-1A)X= A-1B, Y(A A-1)= BA-1
dar (A-1A)=Im si folosind proprietatea matricii identice,se va obtine:
X= A-1B, Y= BA-1
iar prin calculul A-1B si B A-1 se va obtine X, Y. De obicei X,Y sunt diferite deoarece înmultirea matricilor nu este comutativå.
Pentru aplicatii facetzi clic aici
Daca vreti sa le rezolvati folosind programul Microsoft Excel puteti invata cum de aici

Ecuatii matriceale

Fie A, BÎMm× m ( C),

A = a11 a12 a 13 ………a1m , B= b11 b 12 b13 ……b1m

a21 a22 a 23 ………a2m b21 b 22 b23 ……b2m

a31 a32 a 33 ………a3m b31 b 32 b33 ……b3m

……………………… ……………………

am1 am2 a m3 ………

Realizatori:
Dina Sefu'
Grigoras
Fildiroiu
Suteu
Mitrea

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License