Coduri

Aplicatii ale matricei inversabile:Codarea

Sunt multe feluri de a cripta un mesaj, iar utilizarea codurilor a devenit din ce in ce mai importanta in ultimii ani. Un moid de a cripta un mesaj este folosirea unei matrice si a inversei acesteia .Intradevar, consideram o matrice inversabila fixa A.Convertim mesajul intr-o matrice B pentru care e posibil sa facem AB .Trimitem mesajul generat de AB .In alta ordine de idei ei trebuie sa stie A-1 pentru a decripta sau decoda mesajul trimis .Si vom avea :

A-1(AB)=B

care este mesajul original .Retine doar campurile din A ,deoarece trebuie sa fi capabil sa le schimbi .Deci ar trebui sa avem un mod simplu de a genera matrice simple A, care sunt inversabile si au inversa tot o matrice simpla.Retine ca in general inversa unei matrice implica fractii care nu sunt usor de trimis in forma electronica .Cel mai bun mod ar fi sa avem si matricea A si inversa acesteia cu elemente integi .De fapt putem utiliza cunostintele precedente pentru a genera aceasta clasa de matrice .Intradevar , daca A este o matrice cu determinantul egal cu ±1 si toate elementele acesteia sunt intregi , atunci si A-1 are elementele numere intregi.Cum vom genera aceasta clasa de matrice?
Un mod practic este de a incepe o matrice triunghiulara cu ±1 pe diagonala .Apoi vom utiliza operatii elementare consecutive pentru a schimba matricea iar determinantul acesteia va ramane neschimbat .

Exemplu:

Consideram matricea

(1)
\begin{pmatrix} -1&5&-1\\ 0&1&8\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}

Pentru inceput vom tine primul rand si il vom adauga la urmatorul ca si la cel de al 3-lea .Vom obtine:

(2)
\begin{pmatrix} -1&5&-1\\ -1&6&7\\ -1&5&0\\ \end{pmatrix}

In continuare vom pastra primul rand din nou , vom adauga pe cel de-al doilea la al 3-lea , in final adaugand ultimul la primul multiplicat cu -2 .Vom obtine :

(3)
\begin{pmatrix} -1&5&-1\\ -2&11&7\\ -1&-5&2\\ \end{pmatrix}

Aceasta e matricea noastra A .Prin calcule simple vom obtine det (A)=-1 , care il stiam dinainte executari operatilor elemtare fiind neschimbat determinantul din matricea triunghiulara originala care are desigur pe -1 ca determinant .Vom lasa detalile calculelor cititorului.Inversa lui A este :

(4)
\begin{pmatrix} 57&-5&46\\ 11&-1&9\\ -1&0&-1\\ \end{pmatrix}
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License